PROBABILIDAD-PROBLEMA DE MONTY HALL

La teoría de Monty-Hall es un problema de probabilidad inspirado en un programa televisivo estadounidense.

El concurso consiste en que el concursante elige una de entre tres puertas cerradas, por tanto desconoce lo que hay detrás de ellas, la puerta están numeradas, del 1 al 3.  Detrás de las puertas:  en  una de las puertas  hay un coche y en el resto de las puertas una cabra. El concursante se llevará como premio lo que haya detrás de la puerta.

Monty Hall paradox illustration by Cepheus 2006 BY Dominio Púbico https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall#/media/File:Monty_open_door.svg

El concursante debe de elegir una de las puertas, por ejemplo elige la puerta número 1.

Tras la elección del concursante, el presentador conoce qué hay detrás de cada puerta, y abre una de las puertas restantes, donde se encuentra una cabra, por ejemplo el presentador decide abrir la puerta número 2, (en donde hay una cabra).

El presentador le vuelve a preguntar al concursante si quiere cambiar de puerta, o prefiere quedarse con la escogió en el primer momento.

¿Cuál es la probabilidad de que haya seleccionado el coche en su primera elección?

¿Es importante cambiar de puerta? ¿Influye en algo o es indiferente si cambia su elección?

¿La probabilidad de acertar con la puerta que esconde el coche es del 50% una vez que el presentador haya abierto una puerta?

Todas estas preguntas las podemos resolver mediante la Teoría de Montey Hall.

Solución:

Explicación la probabilidad de haber seleccionado el coche en nuestra primera elección es de 33,33%, ya que tu has seleccionado una de las las tres puertas, por tanto no influye en la probabilidad que el presentador nos muestre lo que hay detrás de resto de las puertas.

En el caso que el concursante cambie de puerta:

• 1º Selección Puerta que hay una cabra detrás- se muestra la cabra (abertura de la otra puerta)-Cambiamos de elección-Nos llevamos el coche (Ganamos).
• 1º Selección Puerta que hay un cochea detrás- se muestra la cabra (abertura de la otra puerta)-Cambiamos de elección- Nos llevamos la cabra (Perdemos).

La probabilidad de llevarnos el coche en este caso es del 66,66%.

Explicación de forma matemática:

Definición de sucesos:

A: En la primera selección el concursante escoge la puerta donde hay una cabra detrás.

B: En la primera selección el concursante escoge la puerta donde hay un coche detrás.

C: El concursante se lleva el coche.

Calculamos la probabilidad del Suceso C (Concursante se lleva el coche).

P (C)= P((C∩B) U (C∩A)= P(C/B)P(B) +P(C/A)P(A)

Siendo P(A) 2/3, pues hay dos cabras, P(B) 1/3 ya que sólo hay un coche.

Ahora tenemos dos opciones:

Cambiar de elección o no:

• Si no cambiamos de elección:

P(C׀B) es 1 y  P(C׀A) es 0 ya que el jugador no cambia su elección.

• Si cambiamos de elección:  

P (C׀B) es 0 y P (C׀A) es 1 el concursante cambia a la otra puerta, y el presentador sabe que hay detrás de cada puerta.

 La probabilidad de concursante se lleve el coche es de 2/3.

La mejor opción es cambiar de puerta, para aumentar las probabilidades que detrás de la puerta seleccionada esté el coche y no la cabra.

También es importante destacar que la suerte influye en estos aspectos, ya que si en nuestra primera elección se encuentra el coche detrás de la puerta, y decidimos de cambiar, obtendremos la cabra.

Como curiosidad os dejo el enlace de un pequeño fragmento de la película " Black Jack"   donde aparece el problema de Monty-Hall aunque no cite su nombre expresamente.