El Teorema de Euler

Un poliedro es un cuerpo geométrico en tres dimensiones cuyas caras son planas y que encierra un volumen. Existen varios tipos de poliedros: poliedros estrellados, cubo, octaedro, dodecaedro....

Podemos clasificarlo en poliedros regulares e irregulares:

Pequeño Dodecaedro Estellado by J Joel Leonardo 20158 by CC BY-SA 4.0  https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Peque%C3%B1o_Dodecaedro_Estrellado.gif

Poliedros regulares son aquellos que todas sus caras y ángulos son iguales
Poliedros irregulares son aquellos que no todas sus caras y ángulos son iguales.

Otra clasificación que hace referencia a la cantidad de caras que tiene:

Cubo: tiene 4 caras

Octaedro: tiene 8 caras

Pentaedro: tiene 6 caras

Otra clasificación que podemos realizar sería cóncavos y convexos,
Cóncavos se define como aquellos que al unir dos puntos situados dentro del cuerpo, el segmento correspondiente sale de la superficie.
Convexos: los segmentos que vinculan dos puntos del espacio interior nunca salen del cuerpo geométrico.

En relación a los poliedros convexos, Leonhard Euler publicó su teorema para poliedros, el cual indica la relación entre el número de caras, aristas y vértices de un poliedro convexo . El teorema  expresa una constante que no se altera en caso de rotaciones, traslaciones de dichos poliedros. En la proposición también concluye que solo pueden ser cinco los sólidos regulares y establece para ellos varias relaciones.


Base:1 pentágono simple; caras laterales: 5 triángulos escalenos (en general). Números de caras=6=C.
Aristas: 5 de la base y 5 de los vértices de la base al vértice de la pirámide. Número de aristas=A=10
Vértices: 5 en la base y el ápice 1. Número de vértices = V=6
Se cumple la característica euleriana: C+V=A+2, ya que 6+6=10+2.
Prisma triangular
2 bases: triángulos; tres caras laterales: paralelogramos. Número de caras=C=5
Aristas: 6 en ambas bases y 3 en caras laterales. Número de aristas=A=9
Vértices: 3 en cada bas. Número de vértices=V=6
Se cumple la característica euleriana:C+V=A+2, ya que 5+6=9+2 ​


Ahora bien, vamos a ponerlo en práctica, nos vamos a la cocina abrimos el armario y cogemos un caja de cereales, si contamos el número de caras, arista y vértices, la caja de cereales tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices, Si cogemos el número de caras le restamos el número de aristas y le sumamos el número de vértices, como resultado tenemos 2.

Seguimos comprobando el Teorema de Euler en casa y con esta misma caja de cereales, ahora bien vamos a cortarle un pico a la caja, de tal modo que obtenemos una cara más, ¿estáis de acuerdo? Vamos a contar de nuevo las caras, vértices y aristas que tenemos, de tal forma que tenemos: siete caras, diez vértices, quince aristas. Vamos a realizar de nuevo la misma operación, cogemos el número de caras le restamos el número de aristas y le sumamos el número de vértices, ¿qué obtenemos?¡ Otra vez de nuevo 2!

No, no calma no nos hemos equivocado, ni nuestra calculadora está rota, es el Teorema de Euler, que hemos comentado anteriormente, de tal forma que queda comprobado de “forma casera” el Teorema de Euler.

Contadme, ¿Alguna vez habéis comprobado alguna teoría en casa? O ¿Esta comprobación en casa o a parecido divertida? ¿Conocíais el Teorema de Euler?

Espero vuestros comentarios acerca de este post y cómo os ha ido el experimento en casa con el Teorema de Euler.

Nota: Os dejo un enlace para que podáis ver un vídeo sobre el Teorema de Euler.


Fuente: Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Euler_para_poliedros

APLICACIÓN DE MATES- ESTADÍSTICA

Estando viendo la televisión, concretamente el Telediario, comentaban acerca de la Elecciones en Andalucía que se celebrarán próximamente, y que de acuerdo a las estadísticas y a la probabilidad indicaba quien de los candidatos podría ganar las elecciones, con  o sin mayoría absoluta y por tanto,  quien podrían aliarse, para poder gobernar en Andalucía.

De hecho, buscando algo más de información acerca del mismo, he encontrado un articulo de periódico para que podáis visualizarlo mejor, en el enlace podéis ver las gráficas estadísticas y de probabilidad.

La estadística nos ayuda a analizar y resumir la información o datos obtenidos y ayudar a comprendedla y utilizarla.

Estadísticas de Obesidad by Sullyvaninc 2016 by CC BY-SA4.0 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Estadisticas_de_Obesidad.jpg

Además, de utilizar la estadística para temas relacionados con la sociología, también podemos utilizarla en campos como la medicina, la biología.

Os dejo algunos conceptos para iniciarse en en el mundo de la estadística:

Población:conjunto sobre el que estamos interesados en hacer conclusiones, es decir, todos los elementos sobre los que vamos a hacer el estudio.
Muestra: es el subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que se harán mediciones, por tanto la muestra siempre ha de ser menor que la población.
Individuo: elemento que forma tanto la muestra como la población.
Variable: es una característica que podemos observar, y varía en función de la población.
Valor: es resultado cada uno de los datos de estudio.
Dato: es un dato particular de la variable.
Parámetro: es la cantidad numérica calculada sobre la población.
Censo: un listado con las características de la población.
Encuesta: listado con las características de la muestra.
Muestreo: conjunto de datos obtenidos de la muestra

Existen varios tipos de variables:

Variables cuantitativas: son aquellas que podemos medir mediante números, cantidad
Variables cualitativas: no podemos medir como tal no tienen valor numérico.

Dentro de las variables cuantitativas tenemos dos subcategorías: Discretas y continuas.
Las variable cuantitativas discreta es cuando sólo admite valores aislados, no hay una cantidad intermedia, por ejemplo el nº de hijos, es 0, 1, 2 ... pero no puede ser 1,5
Las variables cuantitativas continuas son aquellas que pueden tomar cualquier valor numérico, entre un intervalo cualquiera, por ejemplo el sueldo percibido en un  sector de la población, o sector.

Dentro de las variables cualitativas tenemos tres subcategorías: nominal, ordinaria y binaria.
Variable cualitativa nominal: aquellas variables cuyas categorías no siguen ningún criterio de orden, por ejemplo profesión que ocupa, fontanero, maestro, arquitecto...
Variable cualitativa ordinaria: son aquellas variables cuyas categorías siguen un tipo de orden, por ejemplo el raking de una carrera, primero segundo, tercero...
Variable cualitativa binaria: son aquellas variables que sólo pueden tomar dos valores, por ejemplo en el mundo animal: macho o hembra.


Es cierto, que para la obtención de los cálculos obtenidos en el ejemplo expuesto se requiere de programas informáticos específicos y de  amplios conocimientos sobre la materia, la cual no se desarrolla de forma tan especifica durante la formación en la Educación Secundaria ni en Bachiller, para poder realizar dichas operaciones, pero para poder introducirse y nadar en este mundo, con lo conceptos que os expuesto anteriormente os servirá de ayuda.

TICs Matemáticas

La tecnología y la educación by Fatimar 2006 by CC by-SA 4.0
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:La_Tecnolog%C3%ADa_y_la_Educaci%C3%B3n.jpg

En esta entrada del Blog me gustaría dedicarla a algunas aplicaciones que están muy chulas sobre el mundo de las matemáticas, y creo que son muy útiles para el aprendizaje y desarrollo de los alumnos, mejorando el interés por las matemáticas.

MisMates: es una plataforma on line  de Oxford Educación que nos permite reforzar los contenidos de Matemáticas de los cursos 1º y 4º de ESO. Los alumnos disponen de varias áreas de trabajo, un editor de expresiones matemáticas y una libreta digital.

Ejercicios de Matemáticas: un portal sobre diferentes actividades, está enfocado para alumnos de ESO, Bachillerato y de acceso a la Universidad para mayores de 25 años. Los alumnos disponen de apuntes, exámenes y juegos, los cuales están organizados por temas .

Amo las mates: esta plataforma on line dispone de apuntes, ejercicios, problemas, juegos, cuadernos de trabajo adaptados, muy útiles que además están organizados por niveles Primaria, Secundaria y Bachillerato de Ciencias y Tecnológico y Bachillerato de Ciencias Sociales. 

Marcia Levtius: en esta  pagina podemos encontrar distintos tipos de ejercicio para trabajar la destreza lógico-matemática, rompecabezas geométricos, series y secuencias, ecuaciones con palabras, con sus correspondientes soluciones .

Sangakoo: es una red colaborativa para alumnos mayores 12 años plantea un método de estudio de las matemáticas basado en la colaboración y la creatividad permitiendo aprender teoría, resolver problemas, crear comunidad educativa… 

Geogebra: software matemático que tiene numerosos usos puede servirnos para tratar contenidos de  matemáticas, como una calculadora gráfica  con la que trabajarlos conceptos de geometría, álgebra, cálculo o estadística, y  nos permite plantear de forma visual problemas sobre éstas áreas.

Seeing Theory es plataforma gratuita y sencilla con la que podemos visualizar introducción a conceptos de probabilidad y estadística aunque se trata de conocimientos de los niveles de Bachillerato y universidad, resulta muy atractiva navegar por esta plataforma.

MásMates: se trata de un porta que nos  proporciona una amplia variedad de recursos matemáticos  a niveles  tanto de Secundaria como Bachillerato. Además aporta  colecciones de ejercicios  que podemos descargar e imprimir,  ejercicios resueltos y   actividades interactivas, que nos permitirán entender mejor cómo funcionan ciertas cuestiones de las Matemáticas.

ASIPISA es un portal, creado  para ayudar a la hora de realizar los ejercicios del Informe PISA en Lectura, Ciencias y en Resolución de Problemas. Permite fortalecer el conocimiento en Matemáticas de nuestros alumnos,  además cuenta con una colección de problemas de lógica y resolución de problemas muy interesantes para poner a prueba y retar a nuestros estudiantes de Secundaria.

PUEMAC: es una gran selección de recursos interactivos sobre diferentes áreas relacionados con las matemáticas, en  niveles de Secundaria, áreas como  geometría, aritmética, álgebra o análisis . Completamente  gratuito.

 Matic: una  herramienta de aprendizaje adaptativo del área de matemáticas que permite al profesor/a personalizar y atender a la diversidad del aula, garantizando que cada uno de sus alumnos avance según su ritmo de aprendizaje.

Como he comentado anteriormente, éstos son una pequeña selección de recursos, que podemos disponer, pero no significa que sea los únicos, ya que gracias a los últimos avances, podemos disfrutar de una gran amplitud de recursos y seleccionar el que mejor se adapte a nuestra situación y criterio.

CALCULADORAS MATEMÁTICAS!??

Si, habéis oído bien, calculadoras matemáticas, no nos referimos a las calculadoras con las que todos hemos crecido, las famosas Casio. Las calculadoras han evolucionado, y ya no son tan simples, ahora  podemos encontrar aplicaciones en Internet que hacen la función de calculadora a un nivel avanzado, algunos ejemplos de ello son Wiris y Calcme.

Calculadora Casio byEmerson Posadas  2008 CC BY 2.0
https://www.flickr.com/photos/toxickore/2738543884

Vamos ver las calculadoras de forma más detenida:

Wiris: programas que se dedican a la resolución de problemas de la ciencia. Se puede utilizar para cálculos en Educación Primaria, Secundaria e incluso para la Universidad. El programa es una calculadora muy fácil de utilizar y manejar. Con él se pueden realizar desde operaciones muy sencillas como sumas o multiplicaciones hasta las más complejas como operaciones con matrices, integrales, representaciones de figuras geométricas, representaciones de funciones, opera con polinomios, fracciones algebraicas, resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, calcula determinantes, resuelve problemas de Programación Lineal Calcula límites, derivadas, dibuja curvas en el plano, dibuja curvas y superficies en el espacio, y otras, se introduce texto, números, fórmulas... y además  el programa muestra el resultado de los procesos. Por tanto lo podemos utilizar en: Números, Álgebra, Funciones, Derivadas, Integrales, Programación Lineal y Geometría Analítica del Espacio, permitiéndonos trabajar de modo más exacto y aproximado con números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. 

Calcme CalcMe: permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones, factorizar polinomios realizar  operaciones combinadas con fracciones, el cálculo de derivadas o integrales, sistemas de ecuaciones,  operaciones con matrices o cálculos de determinantes. Es gratuita.

Web2.0calc es una calculadora que permite resolver problemas avanzados en Física, Matemáticas e Ingeniería, proporciona funciones matemáticas básicas y avanzadas.

Wolfram Alpha: es Motor de búsqueda de Conocimiento, puede responder preguntas  de geografía, historia, bioquímica . Es gratis, pero tiene una versión PRO ofroce  funciones adicionales por una tarifa de suscripción mensual. Una característica  es la posibilidad de cargar muchos tipos de archivos comunes y de datos, datos de tabla en bruto, imágenes, audio, XML y docenas de formatos científicos, médicos y matemáticos especializados para un análisis automático. Otras características incluyen un teclado extendido, descargas de datos y la capacidad de personalizar y guardar resultados gráficos y tabulares.

MathWay: es una aplicación web para resolver problemas matemáticos. Es una herramienta sencilla donde escribes la operación en la pantalla y seleccionas el problema a resolver de una lista.

SymPy:  es una librería de Python para hacer cálculos matemáticos simbólicos. 

Sympy Gamma: puede hacer prácticamente cualquier cálculo matemático que le pidas.

Symbolab: es un tutor on-line que resuelve problemas matemáticos. No sólo se trata de una calculadora, sino una página con acceso a varias aplicaciones web para resolver problemas.

Mathics es una potente alternativa a Wolfram., muy versátil.

Meta-Calculator son cuatro calculadoras on-line para hacer tareas diferentes: cálculos estadísticos, científicos, algebraicos y visualización de funciones, permite operaciones básicas.

Cymath: es una calculadora on-line para realizar operaciones sencillas como derivadas, integrales y factorizaciones. Los resultados vienen con una descripción de todos los pasos seguidos. 

Espero que este post os haya servido de ayuda en caso que necesitéis alguna calculadora o similar, os dejo este enlace para usar la calculadora. 

TRIGRONOMETRÍA

La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

                       Trigonometria af1.svg by Dnu72 2006

CC BY-SA 4.0 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigonometria_af1.svg

Cómo medimos los ángulos:Podemos medir los ángulos mediante:
El sistema sexagésimal, mide en grados, donde una circunferencia completa es 360º, éstos a su vez se dividen en minutos, donde un grado equivale a 60 minutos, donde los minutos están divido a su vez por segundo, donde un segundo equivale a 60 minutos.
También podemos mediante radianes, donde una circunferencia completa son 2π.
Es más frecuente del uso de radianes, pues su expresión y los cálculos resultan más sencillos.
A continuación vamos, a indicar algunas de las definiciones que posteriormente podemos ponerlas en práctica tanto en resolución de problemas como con diferentes expresiones matemáticas.

Definiciones:
El seno del ángulo α es la razón entre el cateo opuesto al ángulo y la hipotenusa.
senα = BC/AB

Coseno del ángulo α es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
cosα=AC/AB

Tangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
tg α=BC/AC

Cosecante del ángulo α es la razón inversa del seno de ángulo α.
cosecα= 1/ senα; cosecα=AB/BC
Secante del ángulo α es la razón inversa del coseno del ángulo α.
Sec α=1/cosα; Sec α= AB/AC
Cotagente del ángulo α es la razón inversa de la tagente del ángulo α.
cotg α= 1/ tg ; cotg α= cos α/senα; cotg α= AC/CB
Las fórmulas donde se indican las rectas son de acuerdo a la imagen anterior.
Identidades trigonometrícas fundamentales.
cos2α + sen2α=1

sec2α=1+tg2α

cosec2α=1 +cotg2α

En un triángulo rectángulo, podemos también definir las siguientes relaciones:

Si senα= BC/AB, α = arcsen BC/ AB
De acuerdo con la imagen anterior, vamos a denominar β, al ángulo formado por las rectas BA y BC.
β=90-α
cos α =AC/AB
AC=cos α . AB
AC=Raíz cuadrada de los diferencia de las rectas AB al cuadrado y BC al cuadrado.

Teorema del coseno

Establece la relación de proporcionalidad existe entre longitudes de lados de un triangulo cualquiera con los cosenos de sus ángulos interiores opuestos.
a2=b2+c2-2.b.c. cosγ

El teorema del coseno puede utilizarse para cualquier ángulo. El teorema de coseno lo podemos utilizar siempre y cuando se conozcan los tres lados, dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, dos lados y el ángulo que forman.
El teorema del coseno es conocido como el Teorema de Pitágoras generalizado.

Teorema del seno
Estable la relación entre el seno del ángulo opuesto y el lado, de un triángulo cualquiera.

a/Senγ=c/sen α/= b/sen β

Triángulo trigonométrica by CC BY NC-ND 4.0. Fuente propia

Se recomienda que utilicemos el teorema del coseno, cuando se quiere hallar los ángulos, ya que si usamos el teorema del seno, habrá dos soluciones posibles, en algunos casos estamos introduciendo falsas soluciones


Una vez puesto los conocimientos en marcha os preguntáis “¿esto para qué sirve se utiliza realmente?” , pues bien la trigonometría nos ayuda en el cálculo de distancias, sin necesidad de medir, por ejemplo es usada en astronomía, para medir distancia a estrellas próximas, en sistema de navegación por satélites, os dejo este enlace donde os llevará a un vídeo sobre algunas de las utilidades de la trigonometría.

Espero que os haya gustado este post adquiriendo o repasado Trigonometría!
Nos vemos en el siguiente post

MUJERES MATEMÁTICAS

Este post me gustaría dedicarlo a mujeres que contribuyeron en mundo de las Matemáticas, unas grande desconocidas, os dejo un enlace para que veáis el vídeo sobre las mujeres matemáticas

La pitagórica. Téano de Crotona. “Todo está formado de acuerdo con el Número”.
Fue la primera mujer matemática de la historia. Matemática de origen griego, discípula de Pitágoras y miembro de la escuela pitagórica. Se casó con Pitágoras. Se le atribuyen la autoría de tratados de medicina, física, matemáticas, cosmología, de la proporción áurea. A continuación, se citan algunos de sus trabajos: La Vida de Pitágoras, Cosmología, Teorema de la proporción aurea,Teoría de los números, Construcción del universo y Sobre la virtud.
Seguía el principio que todos los objetos naturales estaban formados por números naturales. Planteó la existencia del número áureo.

Hypatia de Alejandría. “Defiende tu derecho a pensar, porque pensar incluso de forma errónea, es mejor que no pensar”.
Matemática de origen egipcio. Hija de Teón de Alejandría, célebre matemático y astrónomo de la época. Como tal fue criada en un ambiente científico, dedicó su vida a la enseñanza y al pensamiento. Mejoró el diseño del astrolabio, mejorando los navíos a los marineros. Destacó en campos como Álgebra, Geometría y Astronomía.

Maria Gaetana Agnesi. “En el mundo hay el doble número de cejas que de personas”.

Matemática de origen italiano. Fue la primera mujer en obtener una cátedra de matemáticas. Desde su infancia se cuidó mucho su formación de hecho, a la edad de nueve años conocía siete lenguas, italiano, latín, griego, francés, hebrero, alemán y español, fue conocida también con el apelativo “Oráculo de siete idiomas”. Destacó en el cálculo diferencial e integral. Destacar su obra Instituciones Analíticas, trata sobre temas como el cálculo diferencial e integral. Como anécdotas destacar “La curva bruja de Agnesi”, ya que Agnesí se dedicó al estudio de la curva sinusoidal versa, pero debido a un error en la traducción, (el traductor confundió versiera, que en italiano significa virar, con avversiera, que en italiano significa diablesa, bruja), otra anécdota a destacar, María era sonámbula, y se iba a dormir, dejando un problema sin resolver, apareciendo resuelto a la mañana siguiente. Resolvía el problema durante la noche y volvía a la cama.

Sophie Germain “El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta”.
Matemática, física y filosofa francesa. Fue autodidacta, dadas las dificultades de la época se vió obligada a utilizar el seudónimo de “Monsieur Leblanc”, para que creyeran que era un hombre en sus publicaciones. Realizó numerosas contribuciones, a la teoría de números, la demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 + y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. El teorema de Sophie Germain un enunciado sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación xp + yp = zp Teorema de Fermat para p primo impar.

Sofia Kovalévskaya. “El poeta debe ser capaz de ver lo que los demás no ven, debe ver más profundamente que otras personas. Y el matemático debe hacer lo mismo”.
Matemática y física de origen ruso. Fue premiada por la Academia de Ciencias de Paris. Sus investigaciones se centran en el análisis matemático. Conocida por el Teorema de Cauchy – Kowalevski, teorema sobre la existencia de soluciones para un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas. El mayor éxito, por recibó el premio Academaias de las Ciencias de Paris, por su estudio sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo.

Emmy Noether. “Para demostrar la igualdad de dos números A y B, hay que probar primero que ‘a es menor o igual que b’ y posteriormente que ‘a es mayor o igual que b'”.
Matemática alemana. Está considerada como una figura fundamental en la historia de las matemáticas. Estudió concepto de anillo e ideal, indicándolos en un solo cuerpo. Reformuló la teoría de los invariantes algebraicos . Sus investigaciones ejercieron una influencia en el desarrollo del algebra moderna, imprescindible para poder comprender todas las teorías de Física, desarrolló un teorema para entender la física de las partículas elementales y la teoría cuántica de campos.