TICs Matemáticas

La tecnología y la educación by Fatimar 2006 by CC by-SA 4.0
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:La_Tecnolog%C3%ADa_y_la_Educaci%C3%B3n.jpg

En esta entrada del Blog me gustaría dedicarla a algunas aplicaciones que están muy chulas sobre el mundo de las matemáticas, y creo que son muy útiles para el aprendizaje y desarrollo de los alumnos, mejorando el interés por las matemáticas.

MisMates: es una plataforma on line  de Oxford Educación que nos permite reforzar los contenidos de Matemáticas de los cursos 1º y 4º de ESO. Los alumnos disponen de varias áreas de trabajo, un editor de expresiones matemáticas y una libreta digital.

Ejercicios de Matemáticas: un portal sobre diferentes actividades, está enfocado para alumnos de ESO, Bachillerato y de acceso a la Universidad para mayores de 25 años. Los alumnos disponen de apuntes, exámenes y juegos, los cuales están organizados por temas .

Amo las mates: esta plataforma on line dispone de apuntes, ejercicios, problemas, juegos, cuadernos de trabajo adaptados, muy útiles que además están organizados por niveles Primaria, Secundaria y Bachillerato de Ciencias y Tecnológico y Bachillerato de Ciencias Sociales. 

Marcia Levtius: en esta  pagina podemos encontrar distintos tipos de ejercicio para trabajar la destreza lógico-matemática, rompecabezas geométricos, series y secuencias, ecuaciones con palabras, con sus correspondientes soluciones .

Sangakoo: es una red colaborativa para alumnos mayores 12 años plantea un método de estudio de las matemáticas basado en la colaboración y la creatividad permitiendo aprender teoría, resolver problemas, crear comunidad educativa… 

Geogebra: software matemático que tiene numerosos usos puede servirnos para tratar contenidos de  matemáticas, como una calculadora gráfica  con la que trabajarlos conceptos de geometría, álgebra, cálculo o estadística, y  nos permite plantear de forma visual problemas sobre éstas áreas.

Seeing Theory es plataforma gratuita y sencilla con la que podemos visualizar introducción a conceptos de probabilidad y estadística aunque se trata de conocimientos de los niveles de Bachillerato y universidad, resulta muy atractiva navegar por esta plataforma.

MásMates: se trata de un porta que nos  proporciona una amplia variedad de recursos matemáticos  a niveles  tanto de Secundaria como Bachillerato. Además aporta  colecciones de ejercicios  que podemos descargar e imprimir,  ejercicios resueltos y   actividades interactivas, que nos permitirán entender mejor cómo funcionan ciertas cuestiones de las Matemáticas.

ASIPISA es un portal, creado  para ayudar a la hora de realizar los ejercicios del Informe PISA en Lectura, Ciencias y en Resolución de Problemas. Permite fortalecer el conocimiento en Matemáticas de nuestros alumnos,  además cuenta con una colección de problemas de lógica y resolución de problemas muy interesantes para poner a prueba y retar a nuestros estudiantes de Secundaria.

PUEMAC: es una gran selección de recursos interactivos sobre diferentes áreas relacionados con las matemáticas, en  niveles de Secundaria, áreas como  geometría, aritmética, álgebra o análisis . Completamente  gratuito.

 Matic: una  herramienta de aprendizaje adaptativo del área de matemáticas que permite al profesor/a personalizar y atender a la diversidad del aula, garantizando que cada uno de sus alumnos avance según su ritmo de aprendizaje.

Como he comentado anteriormente, éstos son una pequeña selección de recursos, que podemos disponer, pero no significa que sea los únicos, ya que gracias a los últimos avances, podemos disfrutar de una gran amplitud de recursos y seleccionar el que mejor se adapte a nuestra situación y criterio.

CALCULADORAS MATEMÁTICAS!??

Si, habéis oído bien, calculadoras matemáticas, no nos referimos a las calculadoras con las que todos hemos crecido, las famosas Casio. Las calculadoras han evolucionado, y ya no son tan simples, ahora  podemos encontrar aplicaciones en Internet que hacen la función de calculadora a un nivel avanzado, algunos ejemplos de ello son Wiris y Calcme.

Calculadora Casio byEmerson Posadas  2008 CC BY 2.0
https://www.flickr.com/photos/toxickore/2738543884

Vamos ver las calculadoras de forma más detenida:

Wiris: programas que se dedican a la resolución de problemas de la ciencia. Se puede utilizar para cálculos en Educación Primaria, Secundaria e incluso para la Universidad. El programa es una calculadora muy fácil de utilizar y manejar. Con él se pueden realizar desde operaciones muy sencillas como sumas o multiplicaciones hasta las más complejas como operaciones con matrices, integrales, representaciones de figuras geométricas, representaciones de funciones, opera con polinomios, fracciones algebraicas, resuelve sistemas de ecuaciones lineales y no lineales, calcula determinantes, resuelve problemas de Programación Lineal Calcula límites, derivadas, dibuja curvas en el plano, dibuja curvas y superficies en el espacio, y otras, se introduce texto, números, fórmulas... y además  el programa muestra el resultado de los procesos. Por tanto lo podemos utilizar en: Números, Álgebra, Funciones, Derivadas, Integrales, Programación Lineal y Geometría Analítica del Espacio, permitiéndonos trabajar de modo más exacto y aproximado con números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. 

Calcme CalcMe: permite simplificar expresiones, resolver ecuaciones, factorizar polinomios realizar  operaciones combinadas con fracciones, el cálculo de derivadas o integrales, sistemas de ecuaciones,  operaciones con matrices o cálculos de determinantes. Es gratuita.

Web2.0calc es una calculadora que permite resolver problemas avanzados en Física, Matemáticas e Ingeniería, proporciona funciones matemáticas básicas y avanzadas.

Wolfram Alpha: es Motor de búsqueda de Conocimiento, puede responder preguntas  de geografía, historia, bioquímica . Es gratis, pero tiene una versión PRO ofroce  funciones adicionales por una tarifa de suscripción mensual. Una característica  es la posibilidad de cargar muchos tipos de archivos comunes y de datos, datos de tabla en bruto, imágenes, audio, XML y docenas de formatos científicos, médicos y matemáticos especializados para un análisis automático. Otras características incluyen un teclado extendido, descargas de datos y la capacidad de personalizar y guardar resultados gráficos y tabulares.

MathWay: es una aplicación web para resolver problemas matemáticos. Es una herramienta sencilla donde escribes la operación en la pantalla y seleccionas el problema a resolver de una lista.

SymPy:  es una librería de Python para hacer cálculos matemáticos simbólicos. 

Sympy Gamma: puede hacer prácticamente cualquier cálculo matemático que le pidas.

Symbolab: es un tutor on-line que resuelve problemas matemáticos. No sólo se trata de una calculadora, sino una página con acceso a varias aplicaciones web para resolver problemas.

Mathics es una potente alternativa a Wolfram., muy versátil.

Meta-Calculator son cuatro calculadoras on-line para hacer tareas diferentes: cálculos estadísticos, científicos, algebraicos y visualización de funciones, permite operaciones básicas.

Cymath: es una calculadora on-line para realizar operaciones sencillas como derivadas, integrales y factorizaciones. Los resultados vienen con una descripción de todos los pasos seguidos. 

Espero que este post os haya servido de ayuda en caso que necesitéis alguna calculadora o similar, os dejo este enlace para usar la calculadora. 

TRIGRONOMETRÍA

La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos.

                       Trigonometria af1.svg by Dnu72 2006

CC BY-SA 4.0 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Trigonometria_af1.svg

Cómo medimos los ángulos:Podemos medir los ángulos mediante:
El sistema sexagésimal, mide en grados, donde una circunferencia completa es 360º, éstos a su vez se dividen en minutos, donde un grado equivale a 60 minutos, donde los minutos están divido a su vez por segundo, donde un segundo equivale a 60 minutos.
También podemos mediante radianes, donde una circunferencia completa son 2π.
Es más frecuente del uso de radianes, pues su expresión y los cálculos resultan más sencillos.
A continuación vamos, a indicar algunas de las definiciones que posteriormente podemos ponerlas en práctica tanto en resolución de problemas como con diferentes expresiones matemáticas.

Definiciones:
El seno del ángulo α es la razón entre el cateo opuesto al ángulo y la hipotenusa.
senα = BC/AB

Coseno del ángulo α es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
cosα=AC/AB

Tangente del ángulo α es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
tg α=BC/AC

Cosecante del ángulo α es la razón inversa del seno de ángulo α.
cosecα= 1/ senα; cosecα=AB/BC
Secante del ángulo α es la razón inversa del coseno del ángulo α.
Sec α=1/cosα; Sec α= AB/AC
Cotagente del ángulo α es la razón inversa de la tagente del ángulo α.
cotg α= 1/ tg ; cotg α= cos α/senα; cotg α= AC/CB
Las fórmulas donde se indican las rectas son de acuerdo a la imagen anterior.
Identidades trigonometrícas fundamentales.
cos2α + sen2α=1

sec2α=1+tg2α

cosec2α=1 +cotg2α

En un triángulo rectángulo, podemos también definir las siguientes relaciones:

Si senα= BC/AB, α = arcsen BC/ AB
De acuerdo con la imagen anterior, vamos a denominar β, al ángulo formado por las rectas BA y BC.
β=90-α
cos α =AC/AB
AC=cos α . AB
AC=Raíz cuadrada de los diferencia de las rectas AB al cuadrado y BC al cuadrado.

Teorema del coseno

Establece la relación de proporcionalidad existe entre longitudes de lados de un triangulo cualquiera con los cosenos de sus ángulos interiores opuestos.
a2=b2+c2-2.b.c. cosγ

El teorema del coseno puede utilizarse para cualquier ángulo. El teorema de coseno lo podemos utilizar siempre y cuando se conozcan los tres lados, dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, dos lados y el ángulo que forman.
El teorema del coseno es conocido como el Teorema de Pitágoras generalizado.

Teorema del seno
Estable la relación entre el seno del ángulo opuesto y el lado, de un triángulo cualquiera.

a/Senγ=c/sen α/= b/sen β

Triángulo trigonométrica by CC BY NC-ND 4.0. Fuente propia

Se recomienda que utilicemos el teorema del coseno, cuando se quiere hallar los ángulos, ya que si usamos el teorema del seno, habrá dos soluciones posibles, en algunos casos estamos introduciendo falsas soluciones


Una vez puesto los conocimientos en marcha os preguntáis “¿esto para qué sirve se utiliza realmente?” , pues bien la trigonometría nos ayuda en el cálculo de distancias, sin necesidad de medir, por ejemplo es usada en astronomía, para medir distancia a estrellas próximas, en sistema de navegación por satélites, os dejo este enlace donde os llevará a un vídeo sobre algunas de las utilidades de la trigonometría.

Espero que os haya gustado este post adquiriendo o repasado Trigonometría!
Nos vemos en el siguiente post

MUJERES MATEMÁTICAS

Este post me gustaría dedicarlo a mujeres que contribuyeron en mundo de las Matemáticas, unas grande desconocidas, os dejo un enlace para que veáis el vídeo sobre las mujeres matemáticas

La pitagórica. Téano de Crotona. “Todo está formado de acuerdo con el Número”.
Fue la primera mujer matemática de la historia. Matemática de origen griego, discípula de Pitágoras y miembro de la escuela pitagórica. Se casó con Pitágoras. Se le atribuyen la autoría de tratados de medicina, física, matemáticas, cosmología, de la proporción áurea. A continuación, se citan algunos de sus trabajos: La Vida de Pitágoras, Cosmología, Teorema de la proporción aurea,Teoría de los números, Construcción del universo y Sobre la virtud.
Seguía el principio que todos los objetos naturales estaban formados por números naturales. Planteó la existencia del número áureo.

Hypatia de Alejandría. “Defiende tu derecho a pensar, porque pensar incluso de forma errónea, es mejor que no pensar”.
Matemática de origen egipcio. Hija de Teón de Alejandría, célebre matemático y astrónomo de la época. Como tal fue criada en un ambiente científico, dedicó su vida a la enseñanza y al pensamiento. Mejoró el diseño del astrolabio, mejorando los navíos a los marineros. Destacó en campos como Álgebra, Geometría y Astronomía.

Maria Gaetana Agnesi. “En el mundo hay el doble número de cejas que de personas”.

Matemática de origen italiano. Fue la primera mujer en obtener una cátedra de matemáticas. Desde su infancia se cuidó mucho su formación de hecho, a la edad de nueve años conocía siete lenguas, italiano, latín, griego, francés, hebrero, alemán y español, fue conocida también con el apelativo “Oráculo de siete idiomas”. Destacó en el cálculo diferencial e integral. Destacar su obra Instituciones Analíticas, trata sobre temas como el cálculo diferencial e integral. Como anécdotas destacar “La curva bruja de Agnesi”, ya que Agnesí se dedicó al estudio de la curva sinusoidal versa, pero debido a un error en la traducción, (el traductor confundió versiera, que en italiano significa virar, con avversiera, que en italiano significa diablesa, bruja), otra anécdota a destacar, María era sonámbula, y se iba a dormir, dejando un problema sin resolver, apareciendo resuelto a la mañana siguiente. Resolvía el problema durante la noche y volvía a la cama.

Sophie Germain “El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta”.
Matemática, física y filosofa francesa. Fue autodidacta, dadas las dificultades de la época se vió obligada a utilizar el seudónimo de “Monsieur Leblanc”, para que creyeran que era un hombre en sus publicaciones. Realizó numerosas contribuciones, a la teoría de números, la demostración matemática de la siguiente proposición: si x, y, z son enteros y x5 + y5 = z5, entonces al menos uno de ellos (x, y, o z) es divisible por cinco. El teorema de Sophie Germain un enunciado sobre la divisibilidad de las soluciones de la ecuación xp + yp = zp Teorema de Fermat para p primo impar.

Sofia Kovalévskaya. “El poeta debe ser capaz de ver lo que los demás no ven, debe ver más profundamente que otras personas. Y el matemático debe hacer lo mismo”.
Matemática y física de origen ruso. Fue premiada por la Academia de Ciencias de Paris. Sus investigaciones se centran en el análisis matemático. Conocida por el Teorema de Cauchy – Kowalevski, teorema sobre la existencia de soluciones para un sistema de m ecuaciones diferenciales en n dimensiones cuando los coeficientes son funciones analíticas. El mayor éxito, por recibó el premio Academaias de las Ciencias de Paris, por su estudio sobre la rotación de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo.

Emmy Noether. “Para demostrar la igualdad de dos números A y B, hay que probar primero que ‘a es menor o igual que b’ y posteriormente que ‘a es mayor o igual que b'”.
Matemática alemana. Está considerada como una figura fundamental en la historia de las matemáticas. Estudió concepto de anillo e ideal, indicándolos en un solo cuerpo. Reformuló la teoría de los invariantes algebraicos . Sus investigaciones ejercieron una influencia en el desarrollo del algebra moderna, imprescindible para poder comprender todas las teorías de Física, desarrolló un teorema para entender la física de las partículas elementales y la teoría cuántica de campos.

JUEGOS

Ahora que se acercan estas fechas, muchos de vosotros, padres, os gustaría que vuestros hijos, pudieran repesar el contenido que han dado o lo que hayan aprendido en el curso, pero también os gustaría que a la vez se divirtieran.

El arbol de Navidad de la Plaza Mayor *Coslada by Jacinta Lluch Valero 2014 by CC BY SA 2.0

Y cuando pensáis en cómo poder unir ambas cosas, os decís a vosotros mismos, que ambas a la vez es incompatible, pero estoy segura de que pensáis eso porque aún no conocéis algunos de los juegos que os propongo:

Saliendo gorditas del horno by Juanita Laguna 2007 by CC BY NC-SA 2.0
https://www.flickr.com/photos/juanitalaguna/2127141911

* Las ecuaciones Navideñas:


En este caso tenemos podemos optar por dos opciones: la primera opción consiste en mezclar en un bol harina, huevo, mantequilla y amasar la mezcla, una vez hecha la masa, cogemos un cortapastas y creamos diferentes formas con motivo navideño, por ejemplo, un árbol de navidad, un muñeco de nieve, una estrella, un copo de nieve, y meterlas en el horno, una vez que las tengamos hechas, tenemos unas riquísimas galletas, con las que podremos jugar a las ecuaciones, para ello le asignamos un número a cada forma de las galletas, y lo anotamos en una hoja donde, donde no puedan verlos nuestros hijos, y formamos diferentes combinaciones, por ejemplo, asignamos 20 al árbol de navidad, 1 al muñeco de nieve, 2,5 a la estrella, 3 al copo de nieve y ponemos una línea una combinación, en el caso del ejemplo ponemos dos árboles y una estrella, y el resultado lo ponemos al lado en una hoja de papel, en este caso sería 42,5, más abajo en otra línea, un árbol de navidad divido entre 3, cuyo resultado es 6,667, como recompensa podemos ofrecerle a nuestros hijos que pueden comerse las galletas con la forma que hayan acertado el resultado. Otra opción hacerlo con objetos de decoración con motivos navideños, como las bolas, u otros que colgamos en los árboles de navidad. Este juego me gusta mucho, ya que permiten interaccionar con los diferentes miembros de la familia, y además los niños pueden participar en la elaboración de galletas, y les permite recodar las unidades de medida, y las diferentes conversiones que pudieran darse, (por ejemplo de Kilogramos a gramos, o litros a mililitros) en el caso que hayamos optado por la opción de hacer las galletas.


* La búsqueda del tesoro: cogemos una cartulina de color tamaño folio (A4), en ella en una esquina del folio hacemos un rectángulo y ponemos un número en él, por ejemplo 100, y diferentes caminos donde aparezcan opciones de descomposición factorial, donde sea un solo camino el correcto, estos caminos están conectados a otro rectángulo donde aparecerá otra pista, por ejemplo la raíz cuadrada, o cúbica, de algún número, otra pista, podría ser suma o resta de potencias, áreas de alguna figura plana, volumen de alguna figura geométrica así sucesivamente con diferentes operaciones matemáticas. Este juego podemos también mezclar diferentes asignaturas, podemos introducir pista sobre ciencias naturales, lengua, inglés, historia….


Espero que los dos juegos que os he propuesto os animéis a ponerlo en práctica, y toda la familia pueda disfrutas con los juegos.

NÚMEROS MÁGICOS

Existen numerosos números mágicos, pero nos hoy nos vamos a centrar en el Número Áureo.

El número Áureo, conocido también como el número de las proporciones divinas o número de oro, se representa por la letra griega phi (φ).

Pero ¿por qué phi es un número mágico?

Phi se considera un número mágico porque existe en numerosos fenómenos de la naturaleza. Podemos encontrarlo en:

Las proporciones de nuestro cuerpo.
La representación ideal de la belleza, pues la altura total debe de ser igual a la distancia entre las puntas de los dedos teniendo los brazos y las manos totalmente abiertas, o lo que es lo mismo ocho veces la cara o seis veces los pies. Es la misma distancia que se obtiene de multiplicar el número Áureo por la distancia entre el obligo y el suelo.
La disposición de los pétalos de las flores.

• 

  Phi Nautilus by Roberta Conti 2015 CC CC BY-SA 3.0
  https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Phi_Nautilus_-_Roberta_Conti.jpg


La distribución de las hojas en un tallo.
La relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol.{\displaystyle a/b}
Los huracanes y las galaxias en espiral.
En el ADN, pues la molécula mide 34 por 21 angstroms en un ciclo completo.
En una colmena, la relación que hay entre el número de machos y de hembras que hay.
La estrecha pentagonal, inscrita en un pentágono regular, ya que el segmento que forma la diagonal del pentágono, al dividirlo entre un lado del pentágono, obtenemos la proporción aurea.
En los violines fabricados por el famoso Stradivarius, en las aberturas de sus violines.
En las tarjetas de crédito.
Folio, al dividir el lado más largo por el lado más corto, nos da el Número áureo.
En el diseño publicitario y de productos.
En el famoso cuadro “La Gioconda”.
En los acordes musicales.
En la arquitectura de Partenón.
La distribución de las pipas de girasol.
El grosor que tienen las ramas de los árboles.

El matemático y teólogo Luca Pacioli, en su obra De Divina Proportiones, en 1509, planteo cinco razones porque las que considera que el número áureo se debe de considerar número divino:
La unicidad, comprara el valor único del número con la unicidad de Dios.
Está definido por tres segmentos de recta, lo asocia a la Trinidad.
La inconmensurabilidad, considera que la inconmensurabilidad del número áureo y la de Dios son equivalentes.
La autosimilaridad, compara el número con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.

Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, presentada por el dodecaedro, el número áureo dio se al dodecaedro.
Cómo calculamos el Número Áureo:
Es la relación que hay entre dos segmentos de una recta.
Dividimos una recta en dos segmentos a y b, de tal manera que el segmento mayor divido entre el subsegmento más grande es igual al subsegmento más grande divido entre el subsegmento menor.
La longitud de la recta es 1, longitud del segmento a es x, por tanto longitud del segmento b es 1-x1:

1/x= x/1-x; x2=(1-x); x2+x-1=0; ; x= 1,6180339887


Otra curiosidad respecto a este número es, su cuadrado y su inverso tienen las mismas cifras decimales.

PROBABILIDAD-PROBLEMA DE MONTY HALL

La teoría de Monty-Hall es un problema de probabilidad inspirado en un programa televisivo estadounidense.

El concurso consiste en que el concursante elige una de entre tres puertas cerradas, por tanto desconoce lo que hay detrás de ellas, la puerta están numeradas, del 1 al 3.  Detrás de las puertas:  en  una de las puertas  hay un coche y en el resto de las puertas una cabra. El concursante se llevará como premio lo que haya detrás de la puerta.

Monty Hall paradox illustration by Cepheus 2006 BY Dominio Púbico https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall#/media/File:Monty_open_door.svg

El concursante debe de elegir una de las puertas, por ejemplo elige la puerta número 1.

Tras la elección del concursante, el presentador conoce qué hay detrás de cada puerta, y abre una de las puertas restantes, donde se encuentra una cabra, por ejemplo el presentador decide abrir la puerta número 2, (en donde hay una cabra).

El presentador le vuelve a preguntar al concursante si quiere cambiar de puerta, o prefiere quedarse con la escogió en el primer momento.

¿Cuál es la probabilidad de que haya seleccionado el coche en su primera elección?

¿Es importante cambiar de puerta? ¿Influye en algo o es indiferente si cambia su elección?

¿La probabilidad de acertar con la puerta que esconde el coche es del 50% una vez que el presentador haya abierto una puerta?

Todas estas preguntas las podemos resolver mediante la Teoría de Montey Hall.

Solución:

Explicación la probabilidad de haber seleccionado el coche en nuestra primera elección es de 33,33%, ya que tu has seleccionado una de las las tres puertas, por tanto no influye en la probabilidad que el presentador nos muestre lo que hay detrás de resto de las puertas.

En el caso que el concursante cambie de puerta:

• 1º Selección Puerta que hay una cabra detrás- se muestra la cabra (abertura de la otra puerta)-Cambiamos de elección-Nos llevamos el coche (Ganamos).
• 1º Selección Puerta que hay un cochea detrás- se muestra la cabra (abertura de la otra puerta)-Cambiamos de elección- Nos llevamos la cabra (Perdemos).

La probabilidad de llevarnos el coche en este caso es del 66,66%.

Explicación de forma matemática:

Definición de sucesos:

A: En la primera selección el concursante escoge la puerta donde hay una cabra detrás.

B: En la primera selección el concursante escoge la puerta donde hay un coche detrás.

C: El concursante se lleva el coche.

Calculamos la probabilidad del Suceso C (Concursante se lleva el coche).

P (C)= P((C∩B) U (C∩A)= P(C/B)P(B) +P(C/A)P(A)

Siendo P(A) 2/3, pues hay dos cabras, P(B) 1/3 ya que sólo hay un coche.

Ahora tenemos dos opciones:

Cambiar de elección o no:

• Si no cambiamos de elección:

P(C׀B) es 1 y  P(C׀A) es 0 ya que el jugador no cambia su elección.

• Si cambiamos de elección:  

P (C׀B) es 0 y P (C׀A) es 1 el concursante cambia a la otra puerta, y el presentador sabe que hay detrás de cada puerta.

 La probabilidad de concursante se lleve el coche es de 2/3.

La mejor opción es cambiar de puerta, para aumentar las probabilidades que detrás de la puerta seleccionada esté el coche y no la cabra.

También es importante destacar que la suerte influye en estos aspectos, ya que si en nuestra primera elección se encuentra el coche detrás de la puerta, y decidimos de cambiar, obtendremos la cabra.

Como curiosidad os dejo el enlace de un pequeño fragmento de la película " Black Jack"   donde aparece el problema de Monty-Hall aunque no cite su nombre expresamente.